TRANG CHỦ PGD SƠ ĐỒ WEBSITE LIÊN HỆ
  
TRANG TIN CÁC ĐƠN VỊ
  Đang truy cập: 118  
 
2 4 5 6 8 9
 
 
Hoạt động chuyên môn
CÁC CÁCH SO SÁNH PHÂN SỐ

B. NỘI DUNG

 

Để học sinh giải bài toán so sánh phân số thành thạo thì một trong những biện pháp thực hiện là hình thành tốt cho học sinh những nhận xét, những quy tắc so sánh từ quy nạp không hoàn toàn qua các ví dụ cụ thể. Phát hiện, nhấn mạnh điều kiện bổ sung để nhận xét đúng, nêu rõ  nên áp dụng cách so sánh phân số này trong trường hợp nào. Sau đó cho học sinh áp dụng để giải một số bài tập.

Tiếp theo, giáo viên cần đưa ra một hệ thống bài tập tổng hợp, nâng cao, hướng dẫn các em quan sát như thế nào, thứ tự quan sát ra sao, từ đó tìm lời giải thích hợp. Trước khi hướng dẫn các cách so sánh phân số cho học sinh, bản thân giáo viên cần có ý thức soi sáng các quy tắc, hiểu quy tắc đó được hình thành dựa trên cơ sở lý thuyết nào. Đièu này giúp giáo viên hiểu sâu sắc quy tắc, tiếp cận quy tắc nhanh và chính xác. Chính vì vậy, trong bài viết này, tôi xin đưa ra mục: “ Với giáo viên” đề cập đến vấn đề nêu trên.

PHẦN 1: CÁC CÁCH SO SÁNH PHÂN SỐ

I. So sánh 2 phân số cùng mẫu

 

 

1. Với giáo viên

(Ở đây, để suy ra cách so sánh phân số với khái niệm mở rộng có nhiều cách, nhưng đối với bản thân, người giáo viên dùng kiến thức về bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất đẳng thức sẽ tiện lợi hơn).

2. Với học sinh

Để rút ra quy tắc này cần một số ví dụ với cách làm có thể như sau:

a. So sánh                                 b.  

b. Điền vào chỗ trống: Trong 2 phân số …. (cùng mẫu), phân số nào có tử lớn hơn thì … (lớn hơn).

(Khẳng định sai)

c. Áp dụng, so sánh 2 phân số:

(1)                      (2)         

Giải

(1)  >   (Vì cùng mẫu 8 và -7 > -9) (đúng)

(2)  <   (Vì cùng mẫu - 8 và 7< 9) (sai) .

Học sinh quan sát (1), (2) => (2) sai. Từ đó bổ sung điều kiện "mẫu dương".

 (nhấn mạnh m > 0)

II. So sánh hai phân số không cùng mẫu

- Quy đồng mẫu.

- So sánh  các phân số có được sau khi quy đồng mẫu, kết luận.

III. So sánh 2 phân số   dựa vào so sánh ad với bc.

                      <   ad < bc

                      >  ad > bc          (bd > 0 hay b,d cùng dấu).

1. Với giáo viên

                     +  <   .bd < .bd

                     ad < bc                                                   (bd > 0)

                     +  <   .bd > .bd

                     ad > bc                                                   (bd < 0)

* Chứng minh: < ad < bc                                       (b,d > 0)Chứng minh:Giả sử  <  (1). Do b,d > 0, ta có . Thay vào (1) được

.

Đảo lại, nếu ad < bc, xét : Vì bd > 0 và ad < bc

2. Với học sinh.

       Cần lưu ý chỉ áp dụng cách này khi tử và mẫu của phân số tương đối đơn giản.

IV. So sánh hai phân số cùng tử

                    

1. Với giáo viên

                                               (ab > 0)

                     <=> bm > am                 <=> b > a    (m> 0)

Vậy                                  <=> b > a    (m > 0, ab > 0)

2. Với học sinh: Để rút ra quy tắc này có thể làm như sau:

a. So sánh:                                               

                     ( > vì 3.7> 5.3)                            ( > vì 7.12 > 7.11)

b. Học sinh nhận xét: Đa số các em sẽ nhận xét  như sau: "Trong 2 phân số cùng tử, phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì lớn hơn" => Khẳng định sai.

c. Áp dụng: So sánh:  ;                        

Lời giải sai:

                      vì cùng tử -3 và 5 < 7 

                      vì cùng tử  7 và -11 < 12

GV hướng dẫn học sinh dựa vào các cách so sánh phân số đã biết => 2 lời giải sai.

Học sinh quan sát và bổ sung điều kiện tử dương, 2 mẫu cùng dấu.

V. So sánh 2 phân số không cùng mẫu, không cùng tử bằng cách quy đồng tử.

Sử dụng cách này khi tìm BCNN của các tử đơn giản.

Sử dụng quy đồng mẫu khi tìm BCNN của các mẫu đơn giản.

VI. So sánh phân số với 1:

                     <1 nếu a < b                          (b > 0)

                     >1 nếu a > b                          (b > 0)

                      = 1 nếu a = b                        (b ¹ 0)

1. Với giáo viên:     <1  <=>  <=> a<b              (b > 0)

Và các trường hợp còn lại suy ra tương tự.

2. Với học sinh: GV có thể giúp HS suy ra quy tắc dựa vào quy tắc so sánh 2 phân số cùng mẫu.

VII. So sánh phân số bằng cách đổi ra hỗn số:

Thường áp dụng khi sử dụng các phương pháp khác không thích hợp, việc quy đồng tử hay quy đồng mẫu đều phức tạp, đa số các phân số lớn hơn 1. Trước hết:

Cần cho học sinh nắm được cách so sánh 2 hỗn số dương:  

                     Nếu a > m             =>  >

                     Nếu a = m,  >   =>  >

Tôi xin nêu một ví dụ áp dụng phương pháp này như sau:

* Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần:

 

Giải

Các phân số  

Đổi ra hỗn số tương ứng được:

                    

Ta có:           

Vậy:              

VIII. So sánh phân số bằng cách  so sánh phần bù tới đơn vị:

 Nếu ;              

(Phần bù tới 1 của  , của  )        

Nếu  thì

Cách so sánh này thường áp dụng khi  là các phân số dương, nhỏ hơn 1.

IX. So sánh phân số dựa vào phân số trung gian

                                       =>

Cách so sánh này thường áp dụng khi 2 tỉ số   xấp xỉ bằng nhau:

                       

* MỘT SỐ CHÚ Ý KHI SO SÁNH PHÂN SỐ:

1. Khi so sánh các phân số nên quan sát đặc điểm của chúng theo trình tự sau:

a. Có cùng là phân số âm, cùng là phân số dương hay không?

Phân số dương lớn hơn phân số âm.

(Thực tế khi so sánh 2 phân số. Ví dụ   vẫn có học sinh quy đồng mẫu và so sánh).

b. Các phân số có cùng tử dương, hoặc cùng mẫu dương không?

c. Sử dụng quy đồng mẫu, quy đồng tử để so sánh thì có dễ dàng không? Nếu khá phức tạp, tiếp tục quan sát theo các câu hỏi sau.

d. Các phân số có dương không? có cùng nhỏ hơn 1 không?

e. Hai phân số có xấp xỉ nhau không?

Ví dụ: So sánh 2 phân số  

Ta thấy:  và xấp xỉ . Vậy chọn  làm phân số trung gian.

           

Các phân số đã cho nếu có điều kiện thuận lợi áp dụng cách so sánh nào sẽ dùng cách so sánh đó.

2. Có thể quy tất cả các cách so sánh phân số đã nêu ở trên về so sánh 2 phân số dương (trong đó cả tử và mẫu đều dương) bằng cách so sánh giá trị tuyệt đối của chúng. Như thế sẽ đơn giản hơn rất nhiều.

           

            ( cùng là phân số âm).

Ví dụ: (Bài 64 - SBT trang 12).

  Tìm tổng các phân số lớn hơn , nhỏ hơn  và có tử - 3.

Lời giải của sách hướng dẫn như sau:

            .              Vậy các phân số đó là:

Tổng của chúng:

* Lời bình:

        Khi giải bài này đa số học sinh theo thói quen tìm ra:  mà không kiểm tra có thoả mãn yêu cầu:  hay không.

GV cần hướng dẫn so sánh giá trị tuyệt đối của các phân số:

                =>

So sánh 2 phân số âm có thể đưa về so sánh 2 phân số dương, so sánh 2 giá trị tuyệt đối của chúng. Chính vì vậy trong phần 2 của bài viết này, các ví dụ đưa ra chủ yếu là so sánh phân số dương.

3. Một số bài toán từ đó có thể vận dụng để so sánh phân số:

Bài 1: Chứng minh nếu  thì            (b,d > 0)

Giải

Nếu b > 0, d > 0,  thì ad < bc.

Từ đó suy ra: ad + ab < bc + ab

                               => a (b +d) < b (a + c)

                                               (1)

Từ ad < bc ta cũng suy ra: ad + cd < bc + cd

                               => d (a + c) < c ( b + d)

                               =>           (2)

Từ (1) và (2) được:

* Mở rộng: Với m,n Î  

Chứng minh:   (b, d, m,n Î )

            =>                     =>    

Bài 2: Phân số  với b > 0  sẽ tăng hay giảm nếu ta cộng vào tử và mẫu cùng một số k Î .

Giải

So sánh  ,                    k Î .

+ Nếu a < b, b > 0, tương ứng là < 1, ta có:

ak < bk          => a (b + k) < b (a + k)

= > <  tức là phân số tăng lên.

+ Nếu 0 < b< a, tương ứng là > 1, ta có:

ak > bk          => a (b + k) > b (a + k)

= > > . Như vậy nếu > 1 thì nó sẽ giảm nếu cộng vào tử và mẫu cùng 1 số nguyên dương.

 

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN HAY VỀ SO SÁNH PHÂN SỐ

 

Bài 3: So sánh

Giải

Ta có :               =>

Bài 4: So sánh  

Giải

Cách 1:  = ;     =                 <       =>      <

        Cách 2: Phần bù tới 1 của  , của 

Ta có:  >       =>  <

Cách 3: Sử dụng kết quả bài 2

 < 1 => <    

Bài 5: So sánh phân số

a.                                          b.        

 

Giải

a. Phần bù tới 1 của   ; của  

 =  > . Vậy  <

b. >  =  (1)

   =         (2)

Từ (1), (2) =>  >

Bài 6: (Bài 57 - SBT trang 11): Điền số nguyên thích hợp vào ô vuông

 

 

Giải

Gọi số nguyên phải tìm là x:       

                                                 

=> - 64 < 3x < -56 và 3x 3

Vậy:

Bài 7: Tìm 3 phân số có mẫu 30, lớn hơn , nhỏ hơn

Giải

Cách 1: Ta thấy:      30 = 8.1 + 2.11

                               30 = 8.2 + 2.7

                               30 = 8.3 + 2.3

       < . áp dụng bài toán 1 (mở rộng) =>

<                 (được )

<                  (được )

<                  (được )

Vậy 3 phân số đó là: , , .

Cách 2: Gọi các phân số đó là:

<      =>      

=> 45 < 4x < 60 và 4x 4

Vậy:

Có các phân số: , , .

Bài 8: Tìm 3 phân số khác nhau có tử bằng 10, lớn hơn  và nhỏ hơn .

 

Giải

Cách 1: >  vì 6.9 > 13.2

>

Ta tìm 3 phân số khác nhau có tử bằng 10 lớn hơn , nhỏ hơn  (hay lớn hơn , nhỏ hơn ). Ba phân số được chọn là:

Cách 2: =

             =

Chọn 3 phân số là            

Cách 3: Gọi các phân số đó là          (x Î Z, x ¹ 0)

 <  <  =>

=> 135 > 3x > 65 và 3x 3

Vậy:

Chọn 3 giá trị của x => các phân số cần tìm.

Bài 9: Điền số thích hơp vào chỗ trống (49 - SBT trang 10).

Giải

          (x, y, z Î Z)

-12 < x< 2y < 3z < -8

            3z = -9                                     z = -3

  =>     2y = -10                =>               y = -5

            x = -11                                     x = -11

Vậy có:

 

Bài 10: So sánh  

Giải

Cách 1:                                    áp dụng bài 2, ta có:

                    

Vậy              

Cách 2: Phần bù tới 1 của  

            Phần bù tới 1 của

               

Bài 11: So sánh:                     

Giải:

Ta thấy                 Sử dụng kết quả bài 2 có:

                    

Rút gọn phân số vế phải => A < B

Bài 12: So sánh                              (154 - SBT trang 27)

Giải:

Cách 1:  có phần bù tới 1 là

             có phần bù tới 1 là

         >          =>    

                   =>

                   =>

Cách 2:                   

                        nên A < B

 

Cách 3: B là phân só dương, B > 1. Sử dụng kết quả bài 2 =>

           

Bài 13:

Chứng minh     (Bài 155 - SBT trang 27)

Giải:

           

           

Bài 14: Cho các số 5, 6 ,7 ..., 17, chứng minh rằng tổng các số nghịch đảo của các số đó không phải là số tự nhiên.

Giải:

Tổng các số nghịch đảo của các số đó là:

                    

Ta có            

                    

                    

                    

Ta cũng có:

                    

                    

                    

Vì 2 > A > 1 nên A không phải là số tự nhiên.

Bài 15: Tìm tất cả các phân số có mẫu là số có 1 chữ số. Mỗi phân số lớn hơn  và nhỏ hơn

Giải:

Cách 1: Nhân cả tử và mẫu hai phân số   lần lượt với số  2, 3, 4... Trong từng trường hợp, xét các phân số cùng mẫu lớn hơn , nhỏ hơn, khi rút gọn có mẫu (dương) là số có một chữ số.

            - Có                            Được

            - Có                           (Không được)

            - Có                            Được

            - Có                           Được

            - Có                           Được

            - Có                           Được

            - Có                            Được             , 

            - Có                            (Không được)

            - Có                            Được            

Vậy các phân số đó là    ,               ,        

*Lời bình: Bài toán này đã từng được đưa vào kỳ thi học sinh giỏi  môn toán 6

huyện tôi với đáp án như trên. Tôi nhận thấy cách giải này có nhược điểm là

không khẳng định được đã tìm hết các kết quả và xin đưa ra cách giải sau.

Cách 2: Gọi các phân số đó là . Do

y là số có 1 chữ số nên  0< x < y £ 9    (x, y Î N)

Phần bù tới 1 của  lần lượt là

Nếu y - x ³ 2  =>               (vô lý)

Vậy y - x = 1 =>           <=>     => 9 < 2y < 18

=> 2y Π=>    y Π

Tương ứng:    x Î

Ta có các phân số:

Cách 3: Gọi các phân số đó là  (.......)

       <=>                      (9y dương)

=> 7y < 9x < 8y      Do y là 1 số có 1 chữ số.

- Nếu y = 1:             7 < 9x < 8             không có x.

- Nếu y = 2,3,4:        tương tự....            (Xét 9x  9)

- Nếu y = 5:    35 < 9x < 40                   => 9x = 36 => x = 4

- Nếu y = 6:    42 < 9x < 48                   => 9x = 45 => x = 5

- Nếu y = 7:    49 < 9x < 56                   => 9x = 54  => x = 6

- Nếu y = 8:    56 < 9x < 64                   => 9x = 63 => x = 7

- Nếu y = 9:    63 < 9x < 72                             không có x.

Vậy có các phân số:         

Bài 16: So sánh       A =  và B =

Giải

Đặt:      5555555557 = a

            6666666669 = b     thì a < b

A =  , B =          

  Phần bù tới đơn vị của 2 phân số này lần lượt là  , ta có:

5a = 5. 5555555557 > 5.5500000000 = 27500000000

4b = 4. 6666666669 < 4.6700000000 = 26800000000

Vậy 5a > 4b =>        <          => A > B

Bài 17: So sánh 2 phân số A =  và B =

Giải

A = =       (1)

B = =                       (2)

Từ (1), (2) có B > A

Bài 18: So sánh A và B

A = ;  B =

 

Giải

A =

B =

Chỉ cần so sánh           ta có:

=

 =

 <  nên A < B

Bài 19: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất  của phân số .

 

Giải

Ta có: K =  = = 1+

Để K lớn nhất thì  nhỏ nhất, tức là b nhận giá trị nhỏ nhất có thể có, mà b là chữ số hàng đơn vị của số  nên b = 0.

Khi đó  giá trị lớn nhất của K là 10.

Để K đạt giá trị nhỏ nhất thì  lớn nhất, muốn vậy b phải nhận giá trị lớn nhất và a phải nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, suy ra a = 1,  b = 9.

Giá trị nhỏ nhất của  K là   .

Bài 20: Chứng minh rằng

a.

b.

Giải

a. Ta có                (n³ 2)

Do đó:

Suy ra: -

b.        

 

 

Ngày 21/06/2011
 
[ In trang ][ Xem & in ][ Gửi mail ][ Đầu trang ][ Trở lại ]
 
Ý kiến của bạn
Họ và tên *
Điện thoại Email :
Địa chỉ *
Nội dung *

 PM TÁC NGHIỆP
 Thi đua dạy tốt - học tốt
CỔNG THÔNG TIN ĐIỆN TỬ THCS TT GIA LỘC
Trưởng ban biên tập:Trần Thị Kim Dung - Hiệu trưởng
Địa chỉ: Thị trấn Gia Lộc, Huyện Gia Lộc, Tỉnh Hải Dương
Điện thoại: 0320.3716.369